Álgebra lineal Ejemplos

$x + 2 y - 4 z = 4$ , $- 3 x - 6 y + 12 z = - 12$

Paso 1

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 & - 6 & 12 & - 12 \end{array}]$

Paso 2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 6 + 3 \cdot 2 & 12 + 3 \cdot - 4 & - 12 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

Paso 2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 3

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x + 2 y - 4 z = 4$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 4.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y - 4 z = 4 - x$

Paso 4.1.2

Suma $4 z$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 4 - x + 4 z$

Paso 4.2

Divide cada término en $2 y = 4 - x + 4 z$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $2 y = 4 - x + 4 z$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.1

Divide $4$ por $2$ .

$y = 2 + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Paso 4.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{4 z}{2}$

Paso 4.2.3.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 4.2.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $4 z$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2}$

Paso 4.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 (1)}$

Paso 4.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 z}{1}$

Paso 4.2.3.1.3.2.4

Divide $2 z$ por $1$ .

$y = 2 - \frac{x}{2} + 2 z$

Paso 5

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(x, 2 - \frac{x}{2} + 2 z, z)$

Paso 6

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 2 - \frac{x}{2} + 2 z \\ z \end{array}]$